Ejemplos de regla de permutaciones

1. 1. ¿Cuántas permutaciones existen para las ocho letras a,b,c,d,e,f,g,h?
      P8 = 8! = 40.320.
   2. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a?
      P7 = 7! = 5.040.
   3. ¿Cuántas de las permutaciones de (a) comienzan con la letra a y terminan con la letra c?
      P6 = 6! = 720.
2. ¿De cuántas formas es posible ordenar los símbolos a,b,c,d,e,e,e,e,e de modo que ninguna e quede junto a otra?

   e _ e _ e _ e _ e
   
   P4 = 4! = 24
   

3. 1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las letras de VISITING?
      Si consideramos que las tres I son distintas, podemos formar P8 palabras. Así, la permutación VI₁SI₂TI₃NG sería distinta de VI₂SI₁TI₃NG. Pero esto no es lo que queremos, en realidad no hay diferencia entre esas dos permutaciones. Como las tres I pueden ubicarse de P3 maneras, cada palabra se está repitiendo P3 veces. Por lo tanto hay P8/P3 = 8!/3! = 6.720 disposiciones diferentes.
   2. ¿Cuántas de ellas tienen las tres letras I juntas?
      
      Las restantes 5 letras pueden ordenarse de P5 formas. Las 3 letras I pueden ubicarse en 6 posiciones diferentes: al principio, al final o en cualquiera de los 4 espacios entre las otras 5 letras. Así, hay 6.5! = 6! = 720 palabras con las tres I juntas.

      III_ _ _ _ _
      _III_ _ _ _
      _ _III_ _ _
      _ _ _III_ _
      _ _ _ _III_
      _ _ _ _ _III

      b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como Presidente, a Arturo como secretario y a Rafael como tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer algunos cambios, los que se muestran a continuación:
      CAMBIOS PRESIDENTE:
      Daniel
       Arturo
       Rafael
       Daniel
      SECRETARIO:
      Arturo
       Daniel
       Daniel
       Rafael
      TESORERO:
      Rafael
       Rafael
       Arturo
       Arturo
      Ahora tenemos cuatro arreglos, ¿se trata de la misma representación?
      Creo que la respuesta sería no, ya que el cambio de función que se hace a los integrantes de la representación original hace que definitivamente cada una de las representaciones trabaje de manera diferente, ¿importa el orden de los elementos en los arreglos?. La respuesta definitivamente sería sí, luego entonces las representaciones antes definidas son diferentes ya que el orden o la forma en que se asignan las funciones sí importa, por lo tanto es este caso estamos tratando con permutaciones.
      A continuación obtendremos las fórmulas de permutaciones y de combinaciones, pero antes hay que definir lo que es n! (ene factorial), ya que está involucrado en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas.
      n!= al producto desde la unidad hasta el valor que ostenta n.
      n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x n
      Ejem.
      10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800
      8!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x  8=40,320
      
       6!=1 x 2 x 3 x 4 x……….x  6=720,    etc., etc.
      Obtención de fórmula de permutaciones.
      Para hacer esto, partiremos de un ejemplo.
      ¿Cuántas maneras hay de asignar los cuatro primeros lugares de un concurso de creatividad que se verifica en las instalaciones de nuestro instituto, si hay 14 participantes?
      Solución:
      Haciendo uso del principio multiplicativo,
      14×13×12×11 = 24,024 maneras de asignar los primeros tres lugares del concurso
      Esta solución se debe, a que al momento de asignar el primer lugar tenemos a 14 posibles candidatos, una vez asignado ese lugar nos quedan 13 posibles candidatos para el segundo lugar, luego tendríamos 12 candidatos posibles para el tercer lugar y por último tendríamos 11 candidatos posibles para el cuarto lugar.
      Luego si n es el total de participantes en el concurso y r es el número de participantes que van a ser premiados, y partiendo de la expresión anterior, entonces.
      14×13×12×11= n x (n - 1) x (n - 2) x ………. x (n – r + 1)
      si la expresión anterior es multiplicada por (n – r)! / (n – r)!, entonces
      = n x (n –1 ) x (n – 2) x ……… x (n – r + 1) (n – r)! / (n – r)!
      = n!/ (n – r)!
      Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:
      Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte ® de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.
      Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta?
      Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces.
      nPn=  n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!
      Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces
      nPn= n!